7. Решите систему способом сложения

Решение:

Система уравнений:

\( \begin{cases} 7x + 5y = 19 \\ 4x - 3y = 5 \end{cases} \)

Шаг 1: Умножим уравнения так, чтобы коэффициенты при одной из переменных стали противоположными.

Умножим первое уравнение на 3, а второе на 5, чтобы сделать коэффициенты при \( y \) противоположными (15 и -15).

• Первое уравнение: \( (7x + 5y = 19) \times 3 \) → \( 21x + 15y = 57 \)
• Второе уравнение: \( (4x - 3y = 5) \times 5 \) → \( 20x - 15y = 25 \)

Шаг 2: Сложим полученные уравнения.

\( (21x + 15y) + (20x - 15y) = 57 + 25 \)

\( 41x = 82 \)

\( x = \frac{82}{41} \)

\( x = 2 \)

Шаг 3: Найдем значение другой переменной, подставив найденное значение.

Подставим \( x = 2 \) в любое из исходных уравнений. Возьмём второе уравнение:

\( 4(2) - 3y = 5 \)

\( 8 - 3y = 5 \)

\( -3y = 5 - 8 \)

\( -3y = -3 \)

\( y = 1 \)

Шаг 4: Проверка.

Подставим \( x = 2 \) и \( y = 1 \) в исходные уравнения:

• \( 7(2) + 5(1) = 14 + 5 = 19 \) (Верно)
• \( 4(2) - 3(1) = 8 - 3 = 5 \) (Верно)

Ответ: (2; 1).