7*. Решите уравнение: х³ + 3x² + 5x + 15 = 0.

Задание 7*. Решение уравнения

Дано кубическое уравнение: \( x^3 + 3x^2 + 5x + 15 = 0 \).

Для решения этого уравнения попробуем сгруппировать слагаемые.

1. Группируем слагаемые:

Сгруппируем первые два слагаемых и последние два слагаемых:

\[ (x^3 + 3x^2) + (5x + 15) = 0 \]

2. Выносим общий множитель из каждой группы:

Из первой группы вынесем \( x^2 \), из второй группы вынесем \( 5 \):

\[ x^2(x + 3) + 5(x + 3) = 0 \]

3. Выносим общий множитель \( (x+3) \) за скобки:

\[ (x + 3)(x^2 + 5) = 0 \]

4. Приравниваем каждый множитель к нулю:

Для того чтобы произведение двух множителей было равно нулю, достаточно, чтобы хотя бы один из множителей был равен нулю.

Случай 1: \( x + 3 = 0 \)

\[ x = -3 \]

Случай 2: \( x^2 + 5 = 0 \)

\[ x^2 = -5 \]

Это уравнение не имеет действительных решений, так как квадрат любого действительного числа неотрицателен, а \( -5 \) отрицательно. Если бы мы рассматривали комплексные числа, то получили бы \( x = \pm i\sqrt{5} \).

Однако, в рамках школьной программы обычно ищут действительные корни.

Ответ: \( x = -3 \).