7) Сократите дроби, считая, что переменные принимают неотрицательные значения: а) $$\frac{\sqrt{10b} - \sqrt{15}}{\sqrt{15b} - \sqrt{5}}$$; б) $$\frac{\sqrt[3]{x^2} - \frac{3}{\sqrt[3]{xy}}}{\sqrt[3]{x} - \frac{3}{\sqrt[3]{xy}}}$$

Question

Вопрос: $Фото задания: 7) Сократите дроби, считая, что переменные принимают неотрицательные значения: а) $\frac{\sqrt{10b} - \sqrt{15}}{\sqrt{15b} -…$ Фото задания

7) Сократите дроби, считая, что переменные принимают неотрицательные значения: а) $$\frac{\sqrt{10b} - \sqrt{15}}{\sqrt{15b} - \sqrt{5}}$$; б) $$\frac{\sqrt[3]{x^2} - \frac{3}{\sqrt[3]{xy}}}{\sqrt[3]{x} - \frac{3}{\sqrt[3]{xy}}}$$

Accepted Answer

Решение:

а) $$\frac{\sqrt{10b} - \sqrt{15}}{\sqrt{15b} - \sqrt{5}}$$
Вынесем общие множители из числителя и знаменателя:
$ \frac{\sqrt{5}(\sqrt{2b} - \sqrt{3})}{\sqrt{5}(\sqrt{3b} - 1)} $
Заметим, что при $ b=3 $ числитель равен 0, а знаменатель $ \sqrt{15} - \sqrt{5} \neq 0 $.
Приведём к общему множителю в числителе и знаменателе, умножив числитель и знаменатель на $ \sqrt{3b} + 1 $:
$ \frac{(\sqrt{10b} - \sqrt{15})(\sqrt{3b} + 1)}{(\sqrt{15b} - \sqrt{5})(\sqrt{3b} + 1)} = \frac{\sqrt{30b^2} + \sqrt{10b} - \sqrt{45b} - \sqrt{15}}{15b - 5} $
Этот путь сложен.
Попробуем иначе. Вынесем $ \sqrt{5} $ из числителя и знаменателя:
$ \frac{\sqrt{5}(\sqrt{2b} - \sqrt{3})}{\sqrt{5}(\sqrt{3b} - 1)} = \frac{\sqrt{2b} - \sqrt{3}}{\sqrt{3b} - 1} $
Если $ b=3 $, то $ \frac{\sqrt{6} - \sqrt{3}}{\sqrt{9} - 1} = \frac{\sqrt{3}(\sqrt{2}-1)}{3-1} = \frac{\sqrt{3}(\sqrt{2}-1)}{2} $.
Чтобы сократить дробь, нам нужен общий множитель. Заметим, что $ \sqrt{10b} - \sqrt{15} = \sqrt{5}(\sqrt{2b} - \sqrt{3}) $ и $ \sqrt{15b} - \sqrt{5} = \sqrt{5}(\sqrt{3b} - 1) $.
Если мы умножим числитель и знаменатель на $ \sqrt{10b} + \sqrt{15} $ и $ \sqrt{15b} + \sqrt{5} $ соответственно, это не поможет.
Попробуем вынести $ \sqrt{5} $ из числителя и $ \sqrt{5} $ из знаменателя:
$ \frac{\sqrt{5}(\sqrt{2b} - \sqrt{3})}{\sqrt{5}(\sqrt{3b} - 1)} = \frac{\sqrt{2b} - \sqrt{3}}{\sqrt{3b} - 1} $
Данная дробь не сокращается без дополнительных условий.
б) $$\frac{\sqrt[3]{x^2} - \frac{3}{\sqrt[3]{xy}}}{\sqrt[3]{x} - \frac{3}{\sqrt[3]{xy}}}$$
Заменим $ \sqrt[3]{x^2} = (\sqrt[3]{x})^2 $ и $ \frac{3}{\sqrt[3]{xy}} = 3 \cdot (xy)^{-\frac{1}{3}} $.
$ \frac{(\sqrt[3]{x})^2 - 3(xy)^{-\frac{1}{3}}}{\sqrt[3]{x} - 3(xy)^{-\frac{1}{3}}} $
Данная дробь не сокращается.

Ответ: а) $$\frac{\sqrt{2b} - \sqrt{3}}{\sqrt{3b} - 1}$$; б) $$\frac{\sqrt[3]{x^2} - \frac{3}{\sqrt[3]{xy}}}{\sqrt[3]{x} - \frac{3}{\sqrt[3]{xy}}}$$.