7. Сторона квадрата равна 32√2. Найдите радиус окружности, описанной около этого квадрата.

Задание 7. Радиус описанной окружности квадрата

Дано:

• Квадрат.
• Сторона квадрата \( a = 32\sqrt{2} \).

Найти: радиус описанной окружности \( R \).

Решение:

Когда окружность описана около квадрата, диагональ квадрата является диаметром этой окружности.

1. Найдём диагональ квадрата.

Диагональ квадрата \( d \) можно найти по теореме Пифагора, если рассматривать прямоугольный треугольник, образованный двумя сторонами квадрата и диагональю:

\[ d^2 = a^2 + a^2 = 2a^2 \]

\[ d = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2} \]

Подставим значение стороны квадрата:

\[ d = (32\sqrt{2}) \cdot \sqrt{2} = 32 \cdot (\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}) = 32 \cdot 2 = 64 \]

Итак, диагональ квадрата равна 64.

2. Найдём радиус описанной окружности.

Диаметр окружности равен диагонали квадрата:

\[ D_{\text{окружности}} = d = 64 \]

Радиус окружности равен половине её диаметра:

\[ R = \frac{D_{\text{окружности}}}{2} = \frac{64}{2} = 32 \]

Ответ: 32.