1. Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Прямые АВ и CD пересекаются в точке К. ВК=10, DK=6, BC=15. Найдите AD.

Задание 1. Четырёхугольник, вписанный в окружность

Дано:

• Четырёхугольник ABCD вписан в окружность.
• Прямые AB и CD пересекаются в точке K.
• BK = 10, DK = 6, BC = 15.

Найти: AD.

Решение:

Используем свойство пересекающихся хорд (или секущих, если рассматривать точки A, B, C, D как точки на окружности, а K как точку пересечения внешних отрезков секущих, проведенных из K). Для точек, лежащих на окружности, если две хорды (или секущие) пересекаются в точке K, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды. В нашем случае, отрезки секущих, исходящих из точки K, будут KA, KB и KC, KD. Однако, поскольку AB и CD пересекаются в точке K, а ABCD — вписанный четырёхугольник, мы можем применить теорему о пересекающихся хордах, если бы точки пересечения были внутри окружности. В данном случае K находится вне окружности, и мы имеем секущие KAD и KBC.

По теореме о пересекающихся секущих, исходящих из одной точки:

\[ KA \cdot KB = KC \cdot KD \]

Мы знаем отрезки секущих, исходящие из K:

KB = 10

KD = 6

BC = 15. Тогда KC = KB + BC = 10 + 15 = 25.

Нам нужно найти KA, чтобы потом найти AD. Запишем уравнение:

\[ KA \cdot 10 = 25 \cdot 6 \]

\[ KA \cdot 10 = 150 \]

\[ KA = \frac{150}{10} = 15 \]

Теперь мы знаем, что KA = 15. Отрезок AD состоит из двух частей: KA и KD. Но точка D находится на прямой KA, и K-D-A или K-A-D. Из рисунка видно, что K-D-A.

AD = KA - KD = 15 - 6 = 9.

Ответ: 9.