7. Туристы проплыли на лодке против течения реки 6 км и вернулись обратно. На всё путешествие они затратили 4,5 ч. С какой скоростью двигалась бы лодка в стоячей воде, если скорость течения реки 1 км/ч?

Решение:

Пусть \( v \) — скорость лодки в стоячей воде (км/ч), \( v_{теч} \) — скорость течения реки (1 км/ч).

Скорость лодки по течению: \( v + 1 \) км/ч.

Скорость лодки против течения: \( v - 1 \) км/ч.

Время движения по течению: \( t_1 = \frac{6}{v+1} \) ч.

Время движения против течения: \( t_2 = \frac{6}{v-1} \) ч.

Общее время в пути: \( t_1 + t_2 = 4.5 \) ч.

1. Составим уравнение: \[ \frac{6}{v+1} + \frac{6}{v-1} = 4.5 \]
2. Приведём дроби к общему знаменателю \( (v+1)(v-1) = v^2 - 1 \): \[ \frac{6(v-1) + 6(v+1)}{(v+1)(v-1)} = 4.5 \]
3. Упростим числитель: \[ \frac{6v - 6 + 6v + 6}{v^2 - 1} = 4.5 \] \[ \frac{12v}{v^2 - 1} = 4.5 \]
4. Умножим обе части на \( v^2 - 1 \) (при условии, что \( v > 1 \), так как скорость лодки должна быть больше скорости течения, чтобы двигаться против течения): \[ 12v = 4.5(v^2 - 1) \] \[ 12v = 4.5v^2 - 4.5 \]
5. Перенесём всё в одну сторону и приведём к стандартному виду квадратного уравнения: \[ 4.5v^2 - 12v - 4.5 = 0 \]
6. Умножим на 2, чтобы избавиться от десятичной дроби: \[ 9v^2 - 24v - 9 = 0 \]
7. Разделим на 3: \[ 3v^2 - 8v - 3 = 0 \]
8. Найдём дискриминант: \[ D = (-8)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-3) = 64 + 36 = 100 \]
9. Найдём корни: \[ v_1 = \frac{8 + \sqrt{100}}{2 \cdot 3} = \frac{8 + 10}{6} = \frac{18}{6} = 3 \] \[ v_2 = \frac{8 - \sqrt{100}}{2 \cdot 3} = \frac{8 - 10}{6} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3} \]
10. Так как скорость лодки не может быть отрицательной, выбираем \( v = 3 \) км/ч.

Ответ: 3 км/ч