7*. Упростите выражение \(\dfrac{x^{2/3}-\sqrt[3]{xy}+y^{2/3}}{\sqrt[3]{x^2}-\sqrt[3]{y^2}}-\dfrac{\sqrt[3]{x}-\sqrt[3]{y}}{\sqrt[3]{x^2}-\sqrt[3]{y^2}}\).

Question

Вопрос:

7*. Упростите выражение \(\dfrac{x^{2/3}-\sqrt[3]{xy}+y^{2/3}}{\sqrt[3]{x^2}-\sqrt[3]{y^2}}-\dfrac{\sqrt[3]{x}-\sqrt[3]{y}}{\sqrt[3]{x^2}-\sqrt[3]{y^2}}\).

Accepted Answer

Обозначим \(u=\sqrt[3]{x}\), \(v=\sqrt[3]{y}\). Тогда числитель первой дроби равен \(u^2-uv+v^2\), а её знаменатель, как и знаменатель второй дроби, равен \(u^2-v^2=(u-v)(u+v)\).

Вычитаем дроби с одинаковыми знаменателями:

\(\dfrac{u^2-uv+v^2}{(u-v)(u+v)}-\dfrac{u-v}{(u-v)(u+v)}=\dfrac{u^2-uv+v^2-u+v}{(u-v)(u+v)}\).

Возвращаемся к переменным \(x\) и \(y\). Исходные знаменатели не должны обращаться в ноль: \(x\ne y\).

Ответ: \(\dfrac{x^{2/3}-\sqrt[3]{xy}+y^{2/3}-\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y}}{\sqrt[3]{x^2}-\sqrt[3]{y^2}}\), где \(x\ne y\).