7. Упростите выражение \(\left(\dfrac{a^2-b^2}{a^{3/2}+a^{1/2}b}-\dfrac{a-b}{a^{1/2}+b^{1/2}}\right):\left(\dfrac{a}{b}\right)^{-1/2}\).

Question

Вопрос:

Фото задания

7. Упростите выражение \(\left(\dfrac{a^2-b^2}{a^{3/2}+a^{1/2}b}-\dfrac{a-b}{a^{1/2}+b^{1/2}}\right):\left(\dfrac{a}{b}\right)^{-1/2}\).

Accepted Answer

Разложим разность квадратов и вынесем \(\sqrt a\) в первом знаменателе:

\(\dfrac{a^2-b^2}{a^{3/2}+a^{1/2}b}=\dfrac{(a-b)(a+b)}{\sqrt a(a+b)}=\dfrac{a-b}{\sqrt a}\).

Тогда выражение в скобках равно

\(\dfrac{a-b}{\sqrt a}-\dfrac{a-b}{\sqrt a+\sqrt b}=(a-b)\left(\dfrac1{\sqrt a}-\dfrac1{\sqrt a+\sqrt b}\right)=\dfrac{(a-b)\sqrt b}{\sqrt a(\sqrt a+\sqrt b)}\).

Деление на \((a/b)^{-1/2}\) равносильно умножению на \(\sqrt{a/b}\). Поэтому получаем \(\dfrac{a-b}{\sqrt a+\sqrt b}=\sqrt a-\sqrt b\).

Ответ: \(\sqrt a-\sqrt b\).