7. В боковой стенке высокого цилиндрического бака у самого дна закреплен кран. После его открытия вода начинает вытекать из бака, при этом высота столба воды в нём, выраженная в метрах, меняется по закону \(H(t)=at^2+bt+H_0\), где \(H_0=2\) м — начальный уровень воды, \(a=\frac{1}{50}\) м/мин², \(b=-\frac{2}{5}\) м/мин — постоянные, \(t\) — время в минутах, прошедшее с момента открытия крана. В течение какого времени вода будет вытекать из бака? Ответ дайте в минутах.

Вода перестанет вытекать, когда её высота станет равна нулю. Подставим значения в закон изменения высоты:

\(\frac{1}{50}t^2-\frac{2}{5}t+2=0\).

Умножим уравнение на 50: \(t^2-20t+100=0\). Получаем \((t-10)^2=0\), откуда \(t=10\).

Это время неотрицательно и соответствует моменту, когда уровень воды достигает дна бака.

Ответ: 10 минут.