7. В ходе распада радиоактивного изотопа его масса уменьшается вдвое каждые 7 минут. В начальный момент масса изотопа составляла 160 мг. Найдите массу изотопа через 42 минуты.

Решение:

1. Масса изотопа уменьшается вдвое каждые 7 минут. Это означает, что масса изменяется по закону геометрической прогрессии.
2. Начальная масса \( m_0 = 160 \) мг.
3. Период полураспада \( T = 7 \) минут.
4. Нам нужно найти массу через \( t = 42 \) минуты.
5. Сначала найдём, сколько периодов полураспада прошло за \( 42 \) минуты: \( n = \frac{t}{T} = \frac{42 \text{ мин}}{7 \text{ мин}} = 6 \) периодов.
6. Формула для расчёта массы изотопа после \( n \) периодов полураспада: \( m(t) = m_0 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^n \).
7. Подставим значения: \( m(42) = 160 \text{ мг} \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^6 \)
8. \( m(42) = 160 \text{ мг} \cdot \frac{1}{64} \)
9. \( m(42) = \frac{160}{64} \text{ мг} \)
10. \( m(42) = \frac{160 \div 32}{64 \div 32} \text{ мг} = \frac{5}{2} \text{ мг} = 2.5 \) мг.

Ответ: 2.5 мг.