7. В окружность радиуса 1 см вписаны квадрат и равносторонний треугольник. Чему равно отношение площади треугольника к площади квадрата?

Для окружности с радиусом \( R = 1 \) см:

1. Площадь вписанного квадрата:

Диагональ квадрата равна диаметру окружности, то есть \( d = 2R = 2 \) см.

Сторона квадрата \( a \) находится из \( a^2 + a^2 = d^2 \) (по теореме Пифагора), или \( 2a^2 = (2R)^2 = 4R^2 \).

\( a^2 = 2R^2 \). Площадь квадрата \( S_{квадрата} = a^2 = 2R^2 \).

При \( R=1 \) см, \( S_{квадрата} = 2 \cdot 1^2 = 2 \) см².

2. Площадь вписанного равностороннего треугольника:

Радиус описанной окружности \( R = \frac{a_{треуг}}{\sqrt{3}} \), где \( a_{треуг} \) — сторона равностороннего треугольника.

\( a_{треуг} = R \sqrt{3} \).

Площадь равностороннего треугольника \( S_{треуг} = \frac{\sqrt{3}}{4} a_{треуг}^2 \).

Подставим \( a_{треуг} \):

\( S_{треуг} = \frac{\sqrt{3}}{4} (R\sqrt{3})^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} (R^2 \cdot 3) = \frac{3\sqrt{3}}{4} R^2 \).

При \( R=1 \) см, \( S_{треуг} = \frac{3\sqrt{3}}{4} \) см².

3. Отношение площадей:

\( \frac{S_{треуг}}{S_{квадрата}} = \frac{\frac{3\sqrt{3}}{4} R^2}{2R^2} = \frac{3\sqrt{3}}{4 \cdot 2} = \frac{3\sqrt{3}}{8} \).

Ответ: Г) $$\frac{3\sqrt{3}}{8}$$