8. Точки О₁ и О₂ — центры равных касающихся окружностей (рис. 237), BO₂ ⊥ O₁O₂, AB = 10 см. Чему равна площадь треугольника ABO₂?

Так как окружности равны и касаются, то \( O_1O_2 = 2R \), где \( R \) — радиус каждой окружности. Точка \( O_1 \) является центром окружности, на которой лежит точка \( A \). Поскольку \( A \) лежит на окружности, \( AO_1 = R \).

Также \( O_2 \) — центр окружности, на которой лежит точка \( B \). Значит, \( BO_2 = R \).

Так как окружности касаются, \( O_1O_2 \) проходит через точку касания. Поскольку \( O_1 \) и \( O_2 \) — центры равных окружностей, \( O_1A = O_1B' = R \) и \( O_2A' = O_2B = R \), где \( B' \) и \( A' \) — точки касания.

Рассмотрим треугольник \( ABO_2 \). По условию \( BO_2 \perp O_1O_2 \). Так как \( O_1O_2 \) проходит через центр \( O_2 \) и точку \( B \) на окружности, \( O_1O_2 \) можно рассматривать как прямую, соединяющую центры.

У нас есть \( BO_2 \) — радиус, \( O_1O_2 \) — расстояние между центрами. \( BO_2 \perp O_1O_2 \) означает, что \( BO_2 \perp O_1O_2 \).

Из рисунка видно, что \( AB \) — это отрезок, соединяющий точку \( A \) на первой окружности и точку \( B \) на второй окружности. \( AO_1 = R \), \( BO_2 = R \). \( O_1O_2 = 2R \).

Из рисунка следует, что \( A \) лежит на линии \( O_1O_2 \), и \( O_1 \) — центр этой окружности. Поэтому \( AO_1 = R \). Значит, \( A \) находится на окружности с центром \( O_1 \).

\( AB = 10 \) см. \( BO_2 = R \). \( O_1O_2 = 2R \).

Так как \( BO_2 \perp O_1O_2 \), то \( \angle BO_2O_1 = 90^{\circ} \).

В треугольнике \( BO_2O_1 \) имеем катеты \( BO_2 = R \) и \( O_1O_2 = 2R \).

По теореме Пифагора \( BO_1^2 = BO_2^2 + O_1O_2^2 = R^2 + (2R)^2 = R^2 + 4R^2 = 5R^2 \). \( BO_1 = R\sqrt{5} \).

Это не помогает найти площадь \( ABO_2 \).

Рассмотрим треугольник \( ABO_2 \). Основание \( BO_2 = R \). Высота, опущенная из \( A \) на прямую \( O_1O_2 \), будет равна \( AO_1 \) если \( AO_1 \perp O_1O_2 \), но это не так.

По условию \( BO_2 \perp O_1O_2 \). Это значит, что \( BO_2 \) — высота в треугольнике \( ABO_2 \), если взять \( AO_2 \) за основание, или \( AO_2 \) — высота, если взять \( BO_2 \) за основание.

Рассмотрим \( \triangle ABO_2 \). Его площадь равна \( \frac{1}{2} \cdot BO_2 \cdot h_A \), где \( h_A \) — высота из \( A \) на прямую \( O_1O_2 \). Или \( \frac{1}{2} \cdot AO_2 \cdot h_B \), где \( h_B \) — высота из \( B \) на прямую \( AO_2 \).

Рассмотрим \( \triangle AO_1B \). \( AO_1 = R \). \( BO_1 = R\sqrt{5} \). \( AB = 10 \). По теореме косинусов найдем \( \angle AO_1B \).

\( AB^2 = AO_1^2 + BO_1^2 - 2 AO_1  BO_1  \cos(\angle AO_1B) \)

\( 100 = R^2 + 5R^2 - 2  R  R\sqrt{5} \cos(\angle AO_1B) \)

\( 100 = 6R^2 - 2R^2\sqrt{5} \cos(\angle AO_1B) \).

Это сложно.

Давайте переосмыслим условие и рисунок. \( O_1 \) и \( O_2 \) — центры равных окружностей. Они касаются. \( BO_2 = R \) (радиус). \( O_1O_2 = 2R \) (расстояние между центрами касающихся окружностей). \( AB = 10 \) см. \( BO_2 \perp O_1O_2 \).

Треугольник \( ABO_2 \). Основание \( BO_2 = R \). Высота из \( A \) на прямую \( O_1O_2 \). Точка \( A \) лежит на окружности с центром \( O_1 \). \( AO_1 = R \).

Из рисунка видно, что \( A \) лежит на линии \( O_1O_2 \), и \( O_1 \) — центр этой окружности. Значит \( A \) и \( O_1 \) могут совпадать, или \( A \) может быть на противоположной стороне от \( O_1 \).

Если \( A \) лежит на линии \( O_1O_2 \) и \( AO_1 = R \), то \( A \) может быть либо \( O_1 \) + \( R \) в направлении \( O_2 \), либо \( O_1 \) - \( R \) в направлении от \( O_2 \).

Но \( AB=10 \) см. Это отрезок. \( BO_2 = R \).

Рассмотрим \( \triangle AO_2B \). Площадь равна \( \frac{1}{2} \cdot AO_2 \cdot BO_2 \sin(\angle AO_2B) \).

Из \( BO_2 \perp O_1O_2 \) следует, что \( BO_2 \perp AO_2 \) если \( A \) лежит на \( O_1O_2 \).

Если \( A \) лежит на прямой \( O_1O_2 \) и \( AO_1 = R \), то \( A \) может быть либо \( O_1+R \) (ближе к \( O_2 \)), либо \( O_1-R \) (дальше от \( O_2 \)).

Если \( A \) находится на линии \( O_1O_2 \) и \( AO_1 = R \), и \( O_1O_2 = 2R \), то \( AO_2 = |O_1O_2 - AO_1| = |2R - R| = R \) или \( AO_2 = O_1O_2 + AO_1 = 2R + R = 3R \).

Если \( AO_2 = R \) и \( BO_2 = R \) и \( \angle AO_2B = 90^{\circ} \) (так как \( BO_2 \perp O_1O_2 \) и \( A \) на \( O_1O_2 \)), то \( AB^2 = AO_2^2 + BO_2^2 = R^2 + R^2 = 2R^2 \). \( 100 = 2R^2 \). \( R^2 = 50 \). \( R = \sqrt{50} = 5\sqrt{2} \).

Тогда площадь \( \triangle ABO_2 \) = \( \frac{1}{2}  AO_2  BO_2 = \frac{1}{2}  R  R = \frac{1}{2} R^2 = \frac{1}{2}  50 = 25 \).

Но тогда \( AB=10 \) и \( R=5\sqrt{2} \). \( O_1O_2 = 10\sqrt{2} \).

Теперь рассмотрим случай, когда \( AO_2 = 3R \).

Если \( AO_2 = 3R \) и \( BO_2 = R \) и \( \angle AO_2B = 90^{\circ} \), то \( AB^2 = AO_2^2 + BO_2^2 = (3R)^2 + R^2 = 9R^2 + R^2 = 10R^2 \). \( 100 = 10R^2 \). \( R^2 = 10 \). \( R = \sqrt{10} \).

Тогда площадь \( \triangle ABO_2 \) = \( \frac{1}{2}  AO_2  BO_2 = \frac{1}{2}  3R  R = \frac{3}{2} R^2 = \frac{3}{2}  10 = 15 \).

Проверим, что \( AB = 10 \). \( AB^2 = 10 R^2 = 10  10 = 100 \). \( AB = 10 \). Это подходит.

Итак, \( R = \sqrt{10} \). \( AO_2 = 3R = 3\sqrt{10} \), \( BO_2 = R = \sqrt{10} \).

Площадь \( \triangle ABO_2 = \frac{1}{2}  AO_2  BO_2 = \frac{1}{2}  3\sqrt{10}  \sqrt{10} = \frac{1}{2}  3  10 = 15 \).

Ответ: Б) 15 см²