7. В окружности с центром в точке O отрезки AC и BD — диаметры. Угол AOD равен 114°. Найдите угол ACB.

Решение:

Угол \( AOD \) и угол \( BOC \) являются вертикальными, поэтому \( \angle BOC = \angle AOD = 114^{\circ} \).

Треугольник \( BOC \) — равнобедренный, так как \( OB = OC \) (радиусы окружности). Сумма углов в треугольнике равна 180°.

\[ \angle OBC + \angle OCB + \angle BOC = 180^{\circ} \]\[ 2 \cdot \angle OCB + 114^{\circ} = 180^{\circ} \]\[ 2 \cdot \angle OCB = 180^{\circ} - 114^{\circ} \]\[ 2 \cdot \angle OCB = 66^{\circ} \]\[ \angle OCB = 33^{\circ} \]

Угол \( ACB \) является вписанным углом, опирающимся на дугу \( AB \). Угол \( AOB \) — развёрнутый (180°), так как \( AC \) — диаметр. Угол \( AOD = 114^{\circ} \).

\( \angle DOB = 180^{\circ} - 114^{\circ} = 66^{\circ} \).

Угол \( ACB \) — это угол \( OCB \) + угол \( OCA \).

Угол \( AOC = 180^{\circ} \).

\( \angle AOB = 180^{\circ} - \angle DOB = 180^{\circ} - 66^{\circ} = 114^{\circ} \).

Угол \( ACB \) опирается на дугу \( AB \). Центральный угол, опирающийся на дугу \( AB \), равен \( \angle AOB \). Однако \( AC \) и \( BD \) — диаметры.

Рассмотрим угол \( ADB \). Он опирается на дугу \( AB \). Центральный угол, опирающийся на дугу \( AB \), это \( \angle AOB \).

\( \angle AOD = 114^{\circ} \).

\( \angle DOB = 180^{\circ} - 114^{\circ} = 66^{\circ} \).

\( \angle BOC = 114^{\circ} \) (вертикальные).

\( \angle COA = 180^{\circ} \).

\( \angle AOB = 180^{\circ} - \angle DOB = 180^{\circ} - 66^{\circ} = 114^{\circ} \).

Угол \( ACB \) — вписанный угол, который опирается на дугу \( AB \). Центральный угол, опирающийся на ту же дугу, — \( \angle AOB \).

\( \angle AOB = 180^{\circ} - \angle AOD = 180^{\circ} - 114^{\circ} = 66^{\circ} \). (Так как \( CD \) — диаметр, \( \angle COA = 180^{\circ} \) и \( \angle AOD + \angle DOB = 180^{\circ} \) неверно. \( AC \) — диаметр, \( \angle AOD + \angle DOC = 180^{\circ} \) если \( O \) лежит на \( AC \).)

\( AC \) и \( BD \) — диаметры, пересекаются в точке \( O \).

\( \angle AOD = 114^{\circ} \).

\( \angle AOB = 180^{\circ} - \angle AOD = 180^{\circ} - 114^{\circ} = 66^{\circ} \) (смежные углы).

Угол \( ACB \) — вписанный угол, опирающийся на дугу \( AB \). Центральный угол, опирающийся на ту же дугу, — \( \angle AOB \).

Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

\[ \angle ACB = \frac{1}{2} \angle AOB = \frac{1}{2} \cdot 66^{\circ} = 33^{\circ} \]

Ответ: 33°.