7. В окружности с центром в точке О отрезки AC и BD диаметры. Угол AOD равен 114°. Найдите угол ACB.

Решение:

Угол \(\angle AOD \) — центральный, он равен величине дуги AD. Следовательно, дуга AD = 114°.

Угол \(\angle ACB \) — вписанный, опирается на дугу AB.

Так как AC — диаметр, то дуга ABC = 180°.

Угол \(\angle COD \) — центральный, равен дуге CD. Угол \(\angle AOD \) и \(\angle COD \) — смежные, их сумма 180°.

\[ \angle COD = 180° - \angle AOD = 180° - 114° = 66° \]

Дуга CD = 66°.

Угол \(\angle BOC \) — центральный, равен дуге BC. Угол \(\angle AOD \) и \(\angle BOC \) — вертикальные, поэтому \(\angle BOC = \angle AOD = 114° \).

Дуга BC = 114°.

Угол \(\angle ACB \) вписанный и опирается на дугу AB.

Дуга AB = дуга AD + дуга DC. Нет, дуга AB = 360 - дуга BCD = 360 - (дуга BC + дуга CD)

Дуга ABC = 180°. Дуга ABC = дуга AB + дуга BC. Это неверно.

AC - диаметр, значит дуга ABC = 180°.

Угол \(\angle ABC \) опирается на дугу AC, значит \(\angle ABC = 90° \).

Угол \(\angle COB = 180° - \angle AOD = 180° - 114° = 66° \) (как смежные). Дуга CB = 66°.

Угол \(\angle ACB \) опирается на дугу AB. Дуга AB = 180° - дуга CB = 180° - 66° = 114°.

\(\angle ACB = \frac{1}{2} \text{дуга} AB \)

\[ \angle ACB = \frac{1}{2} \cdot 114° = 57° \]

Ответ: 57°.