7. В остроугольном треугольнике АВС проведены высоты ВВ1 и СС1. Докажите, что угол АС1В1 равен углу АВС.

Решение:

1. Рассмотрим четырёхугольник В1С1СВ. Углы \( \angle BC_1C = 90° \) и \( \angle BB_1C = 90° \) (так как это высоты).

2. Эти углы опираются на диаметр BC. Следовательно, точки B, C, B1, C1 лежат на одной окружности с диаметром BC.

3. В этой окружности углы \( \angle AC_1B_1 \) и \( \angle ABC \) являются вписанными и опираются на одну и ту же дугу B1C1.

4. Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны.

5. Следовательно, \( \angle AC_1B_1 = \angle ABC \).

Доказано.