8. Медиана ВМ треугольника АВС равна 3 и является диаметром окружности, пересекающей сторону ВС в её середине. Найдите диаметр описанной окружности треугольника ABC.

Решение:

1. Пусть O — центр окружности. Так как BM — диаметр, то O — середина BM. \( BM = 3 \).

2. Окружность проходит через середину стороны BC. Пусть эта середина K. Тогда OK — радиус окружности, \( OK = \frac{BM}{2} = \frac{3}{2} \).

3. Точка K — середина BC. Рассмотрим треугольник BCM. BM — медиана. Окружность проходит через B, M и K (середину BC).

4. Так как BM — диаметр, то \( \angle BKM = 90° \). Это значит, что медиана BK перпендикулярна медиане KM.

5. В треугольнике ABC, BM — медиана. Центр описанной окружности находится на серединном перпендикуляре к сторонам треугольника.

6. Если медиана BM является диаметром окружности, проходящей через середину BC, то треугольник ABC — прямоугольный с прямым углом \( \angle BAC = 90° \).

7. В этом случае гипотенуза AC является диаметром описанной окружности.

8. Из условия, что BM (медиана) является диаметром окружности, проходящей через середину BC, следует, что \( \angle B M C = 90° \).

9. В прямоугольном треугольнике ABC, медиана, проведённая к гипотенузе, равна половине гипотенузы. То есть \( BM = \frac{1}{2} AC \).

10. Так как \( BM = 3 \), то \( AC = 2 · BM = 2 · 3 = 6 \).

11. Диаметр описанной окружности треугольника ABC равен гипотенузе AC.

Ответ: 6.