7. В прямоугольном треугольнике KMN высота KT опущена на гипотенузу MN. TN − MT = 11, KN : KM = 6 : 5. Найдите TN, MT, MN, KT, KN и KM.

По свойству катетов \(KN^2/KM^2=TN/MT\), поэтому \(TN/MT=36/25\). Обозначим MT = x; тогда TN = 36x/25.

Из условия: \(36x/25-x=11\), значит \(11x/25=11\) и MT = 25. Тогда TN = 36, а MN = 25 + 36 = 61.

По свойствам высоты и катетов: \(KT^2=MT\cdot TN=25\cdot36\), откуда KT = 30; \(KM^2=MN\cdot MT=61\cdot25\), откуда KM = 5√61; \(KN^2=MN\cdot TN=61\cdot36\), откуда KN = 6√61.

Ответ: TN = 36, MT = 25, MN = 61, KT = 30, KN = 6√61, KM = 5√61.