8. В прямоугольном треугольнике KMN высота KF опущена на гипотенузу MN. ME = EN, KM = 3√5, KN = 6. Найдите MN, ME, EN, MF, FN, KF и EF.

По теореме Пифагора \(MN^2=KM^2+KN^2=45+36=81\), поэтому MN = 9. Поскольку E — середина MN, ME = EN = 9/2.

Проекции катетов: \(MF=KM^2/MN=45/9=5\), \(FN=KN^2/MN=36/9=4\). Высота \(KF=KM\cdot KN/MN=(3\sqrt5\cdot6)/9=2\sqrt5\).

Точки M, E, F, N лежат на гипотенузе в указанном порядке. Поэтому \(EF=MF-ME=5-9/2=1/2\).

Ответ: MN = 9, ME = EN = 9/2, MF = 5, FN = 4, KF = 2√5, EF = 1/2.