7. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием ВС проведена медиана АМ. Периметр треугольника АВС равен 40 см, а периметр треугольника АВМ-33 см. Чему равна длина медианы АМ.

Решение:

Пусть \( AB = AC = a \) (боковые стороны), \( BC = b \) (основание).

Периметр \( \triangle ABC = AB + AC + BC = 2a + b = 40 \) см.

Медиана \( AM \) в равнобедренном треугольнике является также высотой и биссектрисой. Поэтому \( BM = MC = \frac{b}{2} \).

Периметр \( \triangle ABM = AB + BM + AM = a + \frac{b}{2} + AM = 33 \) см.

Сложим два уравнения:

\( (2a + b) + (a + \frac{b}{2} + AM) = 40 + 33 \)

\( 3a + \frac{3b}{2} + AM = 73 \)

Из первого уравнения выразим \( 2a = 40 - b \), то есть \( a = 20 - \frac{b}{2} \). Подставим во второе уравнение:

\( (20 - \frac{b}{2}) + \frac{b}{2} + AM = 33 \)

\( 20 + AM = 33 \)

\( AM = 33 - 20 = 13 \) см.

Ответ: 13 см