7. В таблицу 10 × 10 записывают числа +1 и −1 так, чтобы произведение чисел в каждом столбце и в каждой строке равнялось 1. Сколькими способами это можно сделать?

Произведение в строке или столбце равно 1 тогда и только тогда, когда в нём чётное количество чисел −1.

Можно независимо выбрать числа в первых 9 строках и первых 9 столбцах: это \(9\cdot9=81\) ячейка, каждая имеет 2 варианта. После этого условия на произведения однозначно задают оставшиеся ячейки: сначала последнюю ячейку каждой из первых девяти строк, затем ячейки последней строки. Условие для последнего столбца автоматически выполнится, поскольку произведение всех строк равно произведению всех столбцов.

Итого \(2^{81}\) способов.

Ответ: \(2^{81}\) способов.