7. В треугольник АВС вписана окружность, которая касается стороны АВ треугольника АВС в точке М, стороны ВС в точке N и стороны АС в точке К. АК=5,5 см, ВМ=4,2 см, CN=8,3 см. Найдите периметр треугольника АВС.

Решение:

Свойство касательных, проведенных из одной точки к окружности: отрезки касательных от точки касания до внешней точки равны.

Из точки А к окружности проведены касательные АК и АМ. Следовательно, \( AK = AM \). По условию \( AK = 5,5 \) см, значит \( AM = 5,5 \) см.

Из точки В к окружности проведены касательные ВМ и BN. Следовательно, \( BM = BN \). По условию \( BM = 4,2 \) см, значит \( BN = 4,2 \) см.

Из точки С к окружности проведены касательные CN и СК. Следовательно, \( CN = CK \). По условию \( CN = 8,3 \) см, значит \( CK = 8,3 \) см.

Периметр \( \triangle ABC \) равен сумме длин его сторон: \( AB + BC + AC \).

\( AB = AM + MB = 5,5 \text{ см} + 4,2 \text{ см} = 9,7 \) см.

\( BC = BN + NC = 4,2 \text{ см} + 8,3 \text{ см} = 12,5 \) см.

\( AC = AK + KC = 5,5 \text{ см} + 8,3 \text{ см} = 13,8 \) см.

Периметр \( \triangle ABC = 9,7 \text{ см} + 12,5 \text{ см} + 13,8 \text{ см} = 36 \) см.

Ответ: Периметр треугольника АВС равен 36 см.