7. В треугольнике ABC точки D и E лежат соответственно на сторонах AB и AC так, что BD = CE, AD = AE. Кроме того, AB + AM = AC + BM. Докажите, что ∠BAC = 90°.

Обозначим AD = AE = x и BD = CE = y. Тогда AB = AC = x + y, следовательно, треугольник ABC равнобедренный с основанием BC.

Из AB + AM = AC + BM и AB = AC следует AM = BM. Значит, M равноудалена от A и B и лежит на серединном перпендикуляре к AB.

Этого недостаточно, чтобы заключить, что ∠BAC = 90°: условие не задаёт положение M относительно точки C. Например, можно выбрать любой равнобедренный треугольник ABC с не прямым углом при A и взять M на серединном перпендикуляре к AB; тогда AM = BM и исходное равенство выполняется. Точки D и E можно расположить на боковых сторонах с равными отступами от B и C.

Ответ: утверждение не следует из приведённых условий; вероятно, пропущено дополнительное условие.