7. В треугольнике АВС известно, что АС = 16, BC = 12, угол C равен 90°. Найдите радиус описанной около этого треугольника окружности.

Задание 7. Радиус описанной окружности

В прямоугольном треугольнике \( ABC \) известны катеты \( AC = 16 \) и \( BC = 12 \), а угол \( C = 90^\circ \). Нужно найти радиус описанной окружности.

Решение:

1. В прямоугольном треугольнике гипотенуза является диаметром описанной окружности.
2. Сначала найдём длину гипотенузы \( AB \) по теореме Пифагора: \[ AB^2 = AC^2 + BC^2 \]
3. Подставим значения катетов: \[ AB^2 = 16^2 + 12^2 \]
4. Вычислим квадраты: \( 16^2 = 256 \), \( 12^2 = 144 \).
5. Сложим: \[ AB^2 = 256 + 144 = 400 \]
6. Найдём длину гипотенузы: \[ AB = \sqrt{400} = 20 \]
7. Так как гипотенуза \( AB \) является диаметром описанной окружности, её радиус \( R \) равен половине диаметра: \[ R = \frac{AB}{2} \]
8. Подставим значение гипотенузы: \[ R = \frac{20}{2} = 10 \]

Ответ: 10