7. В треугольнике АВС угол С равен 45°, АВ = 6√2. Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.

Решение:

Для решения этой задачи воспользуемся теоремой синусов. Она гласит, что отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла равно удвоенному радиусу описанной окружности (2R).

$$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$$

В нашем случае:

• Сторона c = AB = 6√2
• Противолежащий угол C = 45°
• Радиус описанной окружности = R

Подставим известные значения в формулу:

\[ \frac{AB}{\sin C} = 2R \]

\[ \frac{6\sqrt{2}}{\sin 45°} = 2R \]

Значение синуса 45° равно $$\frac{\sqrt{2}}{2}$$.

\[ \frac{6\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 2R \]

Чтобы разделить на дробь, умножим на обратную ей:

\[ 6\sqrt{2} \times \frac{2}{\sqrt{2}} = 2R \]

Сокращаем √2:

\[ 6 \times 2 = 2R \]

\[ 12 = 2R \]

Теперь найдем R, разделив обе части на 2:

\[ R = \frac{12}{2} \]

\[ R = 6 \]

Ответ: 6