7. Вычислите: 1) (343 \cdot 7^{-5})^{5} \cdot (49^{-2})^{-2}; 2) \frac{100^{-7} \cdot 10000^{-6}}{1000^{-12}}.

Для решения будем использовать свойства степеней и представим числа в виде степеней семерки и десятки.

• 343 = 7³
• 49 = 7²
• 100 = 10²
• 10000 = 10⁴
• 1000 = 10³
• Свойства степеней: (a^m)ⁿ = a^m·n, a^m · aⁿ = a^m+n, a^m : aⁿ = a^m-n, a^-n = 1/aⁿ

1. (343 · 7^-5)⁵ · (49^-2)^-2

• Заменим числа степенями: (7³ · 7^-5)⁵ · ((7²)^-2)^-2.
• Упростим первую скобку: 7^{3 + (-5)} = 7^-2.
• Возведем результат в 5-ю степень: (7^-2)⁵ = 7^{-2 · 5} = 7^-10.
• Упростим вторую скобку: (7²)^-2 = 7^{2 · -2} = 7^-4.
• Возведем результат в -2-ю степень: (7^-4)^-2 = 7^{-4 · -2} = 7⁸.
• Теперь перемножим полученные степени: 7^-10 · 7⁸ = 7^{-10 + 8} = 7^-2.
• Представим в виде дроби: 7^-2 = 1/7² = 1/49.

2. (100^-7 · 10000^-6) / 1000^-12

• Заменим числа степенями: ((10²)^-7 · (10⁴)^-6) / (10³)^-12.
• Упростим числитель:
• (10²)^-7 = 10^{2 · -7} = 10^-14.
• (10⁴)^-6 = 10^{4 · -6} = 10^-24.
• Перемножим степени в числителе: 10^-14 · 10^-24 = 10^{-14 + (-24)} = 10^-38.
• Упростим знаменатель:
• (10³)^-12 = 10^{3 · -12} = 10^-36.
• Теперь выполним деление: 10^-38 / 10^-36.
• Вычтем показатели степеней: -38 - (-36) = -38 + 36 = -2.
• Получаем: 10^-2.
• Представим в виде дроби: 10^-2 = 1/10² = 1/100.

Ответ: 1) 1/49; 2) 1/100.