8. Решите графически уравнение 8/x = -x - 6.

Решение:

Для решения уравнения графически построим графики двух функций:

1. y = 8/x (гипербола)
2. y = -x - 6 (прямая)

Точки пересечения этих графиков дадут нам решения уравнения.

1. Построение графика y = 8/x:

• Возьмем несколько значений x и найдем соответствующие значения y:
• При x = 1, y = 8/1 = 8. Точка (1, 8).
• При x = 2, y = 8/2 = 4. Точка (2, 4).
• При x = 4, y = 8/4 = 2. Точка (4, 2).
• При x = 8, y = 8/8 = 1. Точка (8, 1).
• При x = -1, y = 8/(-1) = -8. Точка (-1, -8).
• При x = -2, y = 8/(-2) = -4. Точка (-2, -4).
• При x = -4, y = 8/(-4) = -2. Точка (-4, -2).
• При x = -8, y = 8/(-8) = -1. Точка (-8, -1).

2. Построение графика y = -x - 6:

• Это прямая. Возьмем два значения x и найдем соответствующие значения y:
• При x = 0, y = -0 - 6 = -6. Точка (0, -6).
• При x = -6, y = -(-6) - 6 = 6 - 6 = 0. Точка (-6, 0).

3. Нахождение точек пересечения:

Построим эти графики на одной координатной плоскости. График гиперболы y = 8/x состоит из двух ветвей в первой и третьей координатных четвертях. График прямой y = -x - 6 проходит через точки (0, -6) и (-6, 0).

Визуально (или построив точные графики) видим, что графики пересекаются в двух точках:

• Одна точка находится между x=-8 и x=-4. Проверим x = -4: y = 8/(-4) = -2. Для прямой: y = -(-4) - 6 = 4 - 6 = -2. Значит, точка (-4, -2) является решением.
• Другая точка находится между x=0 и x=2. Проверим x = -2: y = 8/(-2) = -4. Для прямой: y = -(-2) - 6 = 2 - 6 = -4. Значит, точка (-2, -4) является решением.

Для более точного нахождения корней, можно решить уравнение алгебраически, чтобы проверить графическое решение:

• 8/x = -x - 6
• 8 = (-x - 6) * x
• 8 = -x² - 6x
• x² + 6x + 8 = 0
• Решаем квадратное уравнение (например, через дискриминант):
• D = b² - 4ac = 6² - 4 * 1 * 8 = 36 - 32 = 4
• x₁ = (-6 + sqrt(4)) / (2*1) = (-6 + 2) / 2 = -4 / 2 = -2
• x₂ = (-6 - sqrt(4)) / (2*1) = (-6 - 2) / 2 = -8 / 2 = -4

Алгебраическое решение подтверждает графическое.

Ответ: x = -2 и x = -4.