7. Вычислите: 1) (8 · 2⁻⁷)⁶ · (128⁻³)⁻¹; 2) ⁶²⁵⁻⁵ · 25⁻⁴ / 125⁻⁹.

Решение:

1. Для вычисления преобразуем все основания к степени числа 2:

   \( 8 = 2^3 \)

   \( 128 = 2^7 \)

   Подставим эти значения в выражение:

   \( (2^3 \cdot 2^{-7})^6 \cdot ((2^7)^{-3})^{-1} \)

   Упростим выражения в скобках:

   \( (2^{3+(-7)})^6 \cdot (2^{7 \cdot (-3)})^{-1} = (2^{-4})^6 \cdot (2^{-21})^{-1} \)

   Применим правило возведения степени в степень:

   \( 2^{-4 \cdot 6} \cdot 2^{-21 \cdot (-1)} = 2^{-24} \cdot 2^{21} \)

   Применим правило умножения степеней:

   \( 2^{-24+21} = 2^{-3} \)

   Преобразуем отрицательную степень в дробь:

   \( 2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8} \)

2. Преобразуем все основания к степени числа 5:

   \( 625 = 5^4 \)

   \( 25 = 5^2 \)

   \( 125 = 5^3 \)

   Подставим эти значения в выражение:

   \( \frac{(5^4)^{-5} \cdot (5^2)^{-4}}{(5^3)^{-9}} \)

   Применим правило возведения степени в степень:

   \( \frac{5^{4 \cdot (-5)} \cdot 5^{2 \cdot (-4)}}{5^{3 \cdot (-9)}} = \frac{5^{-20} \cdot 5^{-8}}{5^{-27}} \)

   Применим правило умножения степеней в числителе:

   \( \frac{5^{-20+(-8)}}{5^{-27}} = \frac{5^{-28}}{5^{-27}} \)

   Применим правило деления степеней:

   \( 5^{-28 - (-27)} = 5^{-28+27} = 5^{-1} \)

   Преобразуем отрицательную степень в дробь:

   \( 5^{-1} = \frac{1}{5} \)

Ответ: 1) \( \frac{1}{8} \); 2) \( \frac{1}{5} \).