7*. Высота BM, проведённая из вершины угла ромба ABCD, образует со стороной AB угол 30°, длина диагонали AC равна 6 см. Найдите AM, если точка M лежит на продолжении стороны AD.

Так как BM — высота к прямой AD, то \(BM\perp AD\). Точка M лежит на продолжении AD, поэтому проекция точки B на прямую AD расположена за точкой A. Следовательно, угол между AB и направлением стороны AD равен \(120^\circ\), так как угол между AB и BM равен 30°.

Обозначим сторону ромба через \(s\). В треугольнике ABC стороны AB и BC равны \(s\), а угол ABC равен \(60^\circ\) (он дополнительный к углу BAD, равному 120°). По теореме косинусов:

\(AC^2=s^2+s^2-2s^2\cos 60^\circ=s^2\), значит \(AC=s\). Поэтому \(s=6\) см.

Прямоугольный треугольник ABM имеет гипотенузу AB = 6 см и угол ABM = 30°. Сторона AM, лежащая напротив угла 30°, равна половине гипотенузы: \(AM=6/2=3\) см.

Ответ: 3 см.