701 В прямоугольном треугольнике один из катетов равен c, а прилежащий к нему угол равен α. а) Выразите другой катет и гипотенузу через c и α. б) Найдите их значения, если c = 12 см, α = 42°.

Решение:

а) Выражение через c и α:

Пусть дан прямоугольный треугольник ABC, где C — прямой угол. Пусть катет AC = c, а прилежащий к нему угол A = α.

• Другой катет (BC):



Мы знаем, что tg α = (противолежащий катет) / (прилежащий катет). В нашем случае, прилежащий катет углу α — это AC (c), а противолежащий катет — BC. Значит:





• tg α = BC / AC


• tg α = BC / c


• BC = c ⋅ tg α




• Гипотенуза (AB):



Мы знаем, что cos α = (прилежащий катет) / (гипотенуза). В нашем случае:





• cos α = AC / AB


• cos α = c / AB


• AB = c / cos α

б) Нахождение значений при c = 12 см, α = 42°:

• Другой катет (BC):




• BC = c ⋅ tg α = 12 см ⋅ tg 42°


• Используя калькулятор: tg 42° ≈ 0.9004


• BC ≈ 12 ⋅ 0.9004 ≈ 10.81 см




• Гипотенуза (AB):




• AB = c / cos α = 12 см / cos 42°


• Используя калькулятор: cos 42° ≈ 0.7431


• AB ≈ 12 / 0.7431 ≈ 16.15 см

Финальный ответ:

• а) Другой катет BC = c ⋅ tg α, гипотенуза AB = c / cos α.


• б) При c = 12 см, α = 42°: BC ≈ 10.81 см, AB ≈ 16.15 см.