731. Докажите неравенства: а) a(a + b) ≥ ab; б) m² − mn + n² ≥ mn; в) 10a² − 5a + 1 ≥ a² + a; г) 2bc ≤ b² + c²; д) a(a − b) ≥ b(a − b); е) a² − a ≤ 50a² − 15a + 1.

Question

Вопрос:

Accepted Answer

а) \(a(a+b)-ab=a^2\ge0\), поэтому \(a(a+b)\ge ab\).
б) \(m^2-mn+n^2-mn=m^2-2mn+n^2=(m-n)^2\ge0\), поэтому \(m^2-mn+n^2\ge mn\).
в) \(10a^2-5a+1-(a^2+a)=9a^2-6a+1=(3a-1)^2\ge0\). Следовательно, \(10a^2-5a+1\ge a^2+a\).
г) \(b^2+c^2-2bc=(b-c)^2\ge0\), поэтому \(2bc\le b^2+c^2\).
д) \(a(a-b)-b(a-b)=(a-b)^2\ge0\), поэтому \(a(a-b)\ge b(a-b)\).
е) \(50a^2-15a+1-(a^2-a)=49a^2-14a+1=(7a-1)^2\ge0\). Следовательно, \(a^2-a\le50a^2-15a+1\).

Ответ: