772. Дан параллелограмм ABCD. Докажите, что \(\overrightarrow{XA}+\overrightarrow{XC}=\overrightarrow{XB}+\overrightarrow{XD}\), где X — произвольная точка плоскости.

Обозначим радиус-векторы точек A, B, C, D и X соответственно через \(\vec A,\vec B,\vec C,\vec D,\vec X\).

Для любого параллелограмма суммы радиус-векторов его противоположных вершин равны:

\[\vec A+\vec C=\vec B+\vec D.\]

Тогда

\[\overrightarrow{XA}+\overrightarrow{XC}=(\vec A-\vec X)+(\vec C-\vec X)=\vec A+\vec C-2\vec X.\]

Аналогично,

\[\overrightarrow{XB}+\overrightarrow{XD}=(\vec B-\vec X)+(\vec D-\vec X)=\vec B+\vec D-2\vec X.\]

Так как \(\vec A+\vec C=\vec B+\vec D\), получаем

\[\overrightarrow{XA}+\overrightarrow{XC}=\overrightarrow{XB}+\overrightarrow{XD}.\]

Что и требовалось доказать.