773. Докажите, что для любых двух векторов \(\vec x\) и \(\vec y\) справедливо неравенство \(|\vec x-\vec y|\le |\vec x|+|\vec y|\).

Используем формулу квадрата длины разности векторов:

\[|\vec x-\vec y|^2=|\vec x|^2+|\vec y|^2-2\vec x\cdot\vec y.\]

По неравенству Коши — Буняковского \(\vec x\cdot\vec y\ge -|\vec x|\,|\vec y|\). Поэтому

\[|\vec x-\vec y|^2\le |\vec x|^2+|\vec y|^2+2|\vec x|\,|\vec y|=(|\vec x|+|\vec y|)^2.\]

Обе части неотрицательны, значит, после извлечения квадратного корня получаем

\[|\vec x-\vec y|\le |\vec x|+|\vec y|.\]

Что и требовалось доказать.