89 Докажите, что в любой ромб можно вписать окружность.

Доказательство:

1. Пусть дан ромб ABCD.
2. По определению ромба, все его стороны равны: AB = BC = CD = DA.
3. Сумма противоположных сторон ромба: AB + CD = AB + AB = 2 ⋅ AB.
4. Другая пара противоположных сторон: BC + DA = BC + BC = 2 ⋅ BC.
5. Так как AB = BC, то AB + CD = BC + DA.
6. Свойство четырёхугольника, в который можно вписать окружность, гласит, что сумма длин его противоположных сторон равна.
7. Поскольку для ромба это условие выполняется (2 ⋅ AB = 2 ⋅ BC), то в любой ромб можно вписать окружность.
8. Центр этой окружности находится в точке пересечения диагоналей ромба, так как диагонали ромба являются биссектрисами его углов.

Вывод: В любой ромб можно вписать окружность.