785. Докажите, что: а) произведение двух средних из четырёх последовательных целых чисел на 2 больше произведения крайних чисел; б) квадрат среднего из трёх последовательных нечётных чисел на 4 больше произведения двух крайних чисел.

Решение: а) Пусть четыре последовательных целых числа будут n, n+1, n+2 и n+3. Произведение двух средних чисел: (n+1)(n+2) = n² + 3n + 2. Произведение крайних чисел: n(n+3) = n² + 3n. Разница между произведениями: (n² + 3n + 2) - (n² + 3n) = 2. Что и требовалось доказать. б) Пусть три последовательных нечётных числа будут 2n-1, 2n+1 и 2n+3. Квадрат среднего числа: (2n+1)² = 4n² + 4n + 1. Произведение крайних чисел: (2n-1)(2n+3) = 4n² + 6n - 2n - 3 = 4n² + 4n - 3. Разница между квадратом среднего и произведением крайних чисел: (4n² + 4n + 1) - (4n² + 4n - 3) = 4. Что и требовалось доказать.