789. Последовательность (x_n) — геометрическая прогрессия. Найдите: а) x_1, если x_8 = -128 и q = -4; б) q, если x_1 = 162 и x_9 = 2.

Решение:

Формула n-го члена геометрической прогрессии: \( x_n = x_1 \cdot q^{n-1} \).

а) Найдём x₁:

Известно, что \( x_8 = -128 \) и \( q = -4 \). Подставим в формулу:

\[ -128 = x_1 \cdot (-4)^{8-1} \]

\[ -128 = x_1 \cdot (-4)^7 \]

\[ -128 = x_1 \cdot (-16384) \]

\[ x_1 = \frac{-128}{-16384} \]

\[ x_1 = \frac{1}{128} \]

б) Найдём q:

Известно, что \( x_1 = 162 \) и \( x_9 = 2 \). Подставим в формулу:

\[ 2 = 162 \cdot q^{9-1} \]

\[ 2 = 162 \cdot q^8 \]

\[ q^8 = \frac{2}{162} \]

\[ q^8 = \frac{1}{81} \]

Так как \( q^8 = \frac{1}{81} = \left(\frac{1}{3}\right)^4 \), то \( q = \pm \sqrt[4]{\frac{1}{81}} = \pm \frac{1}{3} \).

Ответ: а) \( x_1 = \frac{1}{128} \); б) \( q = \pm \frac{1}{3} \).