793. Найдите сумму первых семи членов геометрической прогрессии (b_n), если известно, что все члены последовательности положительны и b_3 = 20, а b_5 = 80.

Решение:

Формула n-го члена геометрической прогрессии: \( b_n = b_1 \cdot q^{n-1} \).

Формула суммы первых n членов геометрической прогрессии: \( S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1} \).

Известно, что \( b_3 = 20 \) и \( b_5 = 80 \). Все члены положительны.

Разделим \( b_5 \) на \( b_3 \):

\[ \frac{b_5}{b_3} = \frac{b_1 \cdot q^{5-1}}{b_1 \cdot q^{3-1}} = q^2 \]

\[ q^2 = \frac{80}{20} = 4 \].

Так как все члены положительны, \( q > 0 \), значит \( q = 2 \).

Теперь найдём \( b_1 \) через \( b_3 \):

\[ b_3 = b_1 \cdot q^{3-1} \]

\[ 20 = b_1 \cdot 2^{2} \]

\[ 20 = b_1 \cdot 4 \]

\[ b_1 = \frac{20}{4} = 5 \].

Найдём сумму первых семи членов \( S_7 \):

\[ S_7 = \frac{b_1(q^7 - 1)}{q - 1} = \frac{5(2^7 - 1)}{2 - 1} \]

\[ S_7 = \frac{5(128 - 1)}{1} \]

\[ S_7 = 5 \cdot 127 = 635 \].

Ответ: \( S_7 = 635 \).