791. Найдите сумму первых шести членов геометрической прогрессии (b_n), в которой b_6 = \( \frac{1}{2} \) и q = \( \frac{1}{2} \).

Решение:

Формула n-го члена геометрической прогрессии: \( b_n = b_1 \cdot q^{n-1} \).

Формула суммы первых n членов геометрической прогрессии: \( S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1} \).

Известно, что \( b_6 = \frac{1}{2} \) и \( q = \frac{1}{2} \). Сначала найдём \( b_1 \).

\[ \frac{1}{2} = b_1 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{6-1} \]

\[ \frac{1}{2} = b_1 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^5 \]

\[ \frac{1}{2} = b_1 \cdot \frac{1}{32} \]

\[ b_1 = \frac{1}{2} \cdot 32 = 16 \].

Теперь найдём сумму первых шести членов \( S_6 \):

\[ S_6 = \frac{16\left(\left(\frac{1}{2}\right)^6 - 1\right)}{\frac{1}{2} - 1} \]

\[ S_6 = \frac{16\left(\frac{1}{64} - 1\right)}{-\frac{1}{2}} \]

\[ S_6 = -32\left(\frac{1 - 64}{64}\right) \]

\[ S_6 = -32\left(-\frac{63}{64}\right) \]

\[ S_6 = \frac{32 \cdot 63}{64} = \frac{63}{2} = 31.5 \].

Ответ: \( S_6 = 31.5 \).