790. Найдите пятый член геометрической прогрессии (b_n), если известно, что b_1 = 6 и b_3 = \( \frac{2}{3} \).

Решение:

Формула n-го члена геометрической прогрессии: \( b_n = b_1 \cdot q^{n-1} \).

Известно, что \( b_1 = 6 \) и \( b_3 = \frac{2}{3} \).

Подставим во второе условие:

\[ \frac{2}{3} = 6 \cdot q^{3-1} \]

\[ \frac{2}{3} = 6 \cdot q^2 \]

\[ q^2 = \frac{2}{3 \cdot 6} \]

\[ q^2 = \frac{2}{18} \]

\[ q^2 = \frac{1}{9} \]

\[ q = \pm \frac{1}{3} \].

Найдём пятый член \( b_5 \) при \( q = \frac{1}{3} \):

\[ b_5 = b_1 \cdot q^{5-1} = 6 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^4 = 6 \cdot \frac{1}{81} = \frac{6}{81} = \frac{2}{27} \].

Найдём пятый член \( b_5 \) при \( q = -\frac{1}{3} \):

\[ b_5 = b_1 \cdot q^{5-1} = 6 \cdot \left(-\frac{1}{3}\right)^4 = 6 \cdot \frac{1}{81} = \frac{6}{81} = \frac{2}{27} \].

В обоих случаях \( b_5 = \frac{2}{27} \).

Ответ: \( b_5 = \frac{2}{27} \).