790. Найдите пятый член геометрической прогрессии (b), если известно, что b₁ = 6 и b₃ = \(\frac{2}{3}\).

Решение:

Используем формулу n-го члена геометрической прогрессии: \( b_n = b_1 \cdot q^{n-1} \).

1. Найдем знаменатель прогрессии \( q \).

\[ b_3 = b_1 \cdot q^{3-1} \]

\[ \frac{2}{3} = 6 \cdot q^2 \]

\[ q^2 = \frac{2}{3 \cdot 6} = \frac{2}{18} = \frac{1}{9} \]

\[ q = \pm \sqrt{\frac{1}{9}} = \pm \frac{1}{3} \]

2. Найдем пятый член прогрессии \( b_5 \).

Рассмотрим оба случая для \( q \).

Случай 1: \( q = \frac{1}{3} \)

\[ b_5 = b_1 \cdot q^{5-1} = 6 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^4 = 6 \cdot \frac{1}{81} = \frac{6}{81} = \frac{2}{27} \]

Случай 2: \( q = -\frac{1}{3} \)

\[ b_5 = b_1 \cdot q^{5-1} = 6 \cdot \left(-\frac{1}{3}\right)^4 = 6 \cdot \frac{1}{81} = \frac{6}{81} = \frac{2}{27} \]

Ответ: \( b_5 = \frac{2}{27} \).