795. В геометрической прогрессии (b), знаменатель которой положителен, \( b_1 \cdot b_2 = \frac{1}{27} \), а \( b_3 \cdot b_4 = 3 \). Найдите сумму первых трёх членов этой прогрессии.

Решение:

Используем формулы: \( b_2 = b_1 q \), \( b_3 = b_1 q^2 \), \( b_4 = b_1 q^3 \).

1. Запишем уравнения:

\[ \begin{cases} b_1 \cdot (b_1 q) = \frac{1}{27} \\ (b_1 q^2) \cdot (b_1 q^3) = 3 \end{cases} \]

\[ \begin{cases} b_1^2 q = \frac{1}{27} \\ b_1^2 q^5 = 3 \end{cases} \]

2. Разделим второе уравнение на первое:

\[ \frac{b_1^2 q^5}{b_1^2 q} = \frac{3}{\frac{1}{27}} \]

\[ q^4 = 3 \cdot 27 = 81 \]

\[ q = \sqrt[4]{81} = 3 \]

Так как знаменатель положителен, \( q=3 \).

3. Найдем \( b_1^2 \) из первого уравнения:

\[ b_1^2 \cdot 3 = \frac{1}{27} \]

\[ b_1^2 = \frac{1}{27 \cdot 3} = \frac{1}{81} \]

\[ b_1 = \pm \frac{1}{9} \]

Поскольку \( b_3 \cdot b_4 = 3 > 0 \) и \( q > 0 \), то \( b_1 \) должен быть положителен, чтобы \( b_3 \) и \( b_4 \) были положительными. Если бы \( b_1 < 0 \), то \( b_3 < 0 \) и \( b_4 < 0 \), их произведение было бы положительным. Если \( b_1 = -\frac{1}{9} \), то \( b_3 = -\frac{1}{9} \cdot 3^2 = -1 \) и \( b_4 = -1 \cdot 3 = -3 \), \( b_3 \cdot b_4 = 3 \). В этом случае задача тоже имеет решение. Однако, если прочитать условие "знаменатель которой положителен", это не накладывает ограничения на знаки членов прогрессии. Если предположить, что все члены положительны, то \( b_1 = \frac{1}{9} \). Если такой информации нет, то рассмотрим оба варианта.

Случай 1: \( b_1 = \frac{1}{9} \)

\[ b_1 = \frac{1}{9}, \quad b_2 = \frac{1}{9} \cdot 3 = \frac{1}{3}, \quad b_3 = \frac{1}{3} \cdot 3 = 1 \]

\[ S_3 = \frac{1}{9} + \frac{1}{3} + 1 = \frac{1 + 3 + 9}{9} = \frac{13}{9} \]

Случай 2: \( b_1 = -\frac{1}{9} \)

\[ b_1 = -\frac{1}{9}, \quad b_2 = -\frac{1}{9} \cdot 3 = -\frac{1}{3}, \quad b_3 = -\frac{1}{3} \cdot 3 = -1 \]

\[ S_3 = -\frac{1}{9} - \frac{1}{3} - 1 = -\frac{1 + 3 + 9}{9} = -\frac{13}{9} \]

Ответ: \( S_3 = \frac{13}{9} \) или \( S_3 = -\frac{13}{9} \).