794. Последовательность (b) — геометрическая прогрессия. Найдите сумму первых трёх члена этой прогрессии, если известно, что b₁ + b₂ = 30, а b₂ + b₃ = 20.

Решение:

Используем формулы: \( b_2 = b_1 q \) и \( b_3 = b_1 q^2 \).

1. Запишем систему уравнений:

\[ \begin{cases} b_1 + b_1 q = 30 \\ b_1 q + b_1 q^2 = 20 \end{cases} \]

\[ \begin{cases} b_1(1+q) = 30 \\ b_1 q(1+q) = 20 \end{cases} \]

2. Разделим второе уравнение на первое (предполагая \( b_1 \neq 0 \) и \( 1+q \neq 0 \)):

\[ \frac{b_1 q(1+q)}{b_1(1+q)} = \frac{20}{30} \]

\[ q = \frac{2}{3} \]

3. Найдем \( b_1 \) из первого уравнения:

\[ b_1 \left(1 + \frac{2}{3}\right) = 30 \]

\[ b_1 \left(\frac{5}{3}\right) = 30 \]

\[ b_1 = 30 \cdot \frac{3}{5} = 6 \cdot 3 = 18 \]

4. Найдем сумму первых трёх членов: \( S_3 = b_1 + b_2 + b_3 \).

\[ S_3 = b_1 + b_1 q + b_1 q^2 = 18 + 18 \cdot \frac{2}{3} + 18 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^2 \]

\[ S_3 = 18 + 12 + 18 \cdot \frac{4}{9} \]

\[ S_3 = 30 + 2 \cdot 4 = 30 + 8 = 38 \]

Ответ: \( S_3 = 38 \).