792. Пятый член геометрической прогрессии (b) равен \( 1\frac{1}{2} \), а знаменатель прогрессии равен \( -\frac{1}{2} \). Найдите сумму первых пяти членов этой прогрессии.

Решение:

Используем формулу n-го члена геометрической прогрессии: \( b_n = b_1 \cdot q^{n-1} \).

1. Найдем первый член прогрессии \( b_1 \).

\[ b_5 = b_1 \cdot q^{5-1} \]

\[ \frac{3}{2} = b_1 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)^4 \]

\[ \frac{3}{2} = b_1 \cdot \frac{1}{16} \]

\[ b_1 = \frac{3}{2} \cdot 16 = 3 \cdot 8 = 24 \]

2. Найдем сумму первых пяти членов прогрессии. Формула суммы \( S_n = \frac{b_1(1-q^n)}{1-q} \).

\[ S_5 = \frac{24 \left(1 - \left(-\frac{1}{2}\right)^5\right)}{1 - \left(-\frac{1}{2}\right)} \]

\[ S_5 = \frac{24 \left(1 - \left(-\frac{1}{32}\right)\right)}{1 + \frac{1}{2}} \]

\[ S_5 = \frac{24 \left(1 + \frac{1}{32}\right)}{\frac{3}{2}} \]

\[ S_5 = \frac{24 \cdot \frac{33}{32}}{\frac{3}{2}} \]

\[ S_5 = 24 \cdot \frac{33}{32} \cdot \frac{2}{3} \]

\[ S_5 = \frac{24 \cdot 33 \cdot 2}{32 \cdot 3} = \frac{8 \cdot 33 \cdot 2}{32} = \frac{33 \cdot 2}{4} = \frac{33}{2} = 16.5 \]

Ответ: \( S_5 = 16.5 \) (или \( \frac{33}{2} \)).