8.11. Найдите все возможные значения периметра треугольника ABC, если AB = BC = AD, AD — биссектриса угла A, M — середина AC. (Рис. 8.13.)

В треугольнике ABD равны AB и AD, поэтому углы при основании равны: \(\angle ABD=\angle BDA\). Так как AD — биссектриса угла A, \(\angle BAD=\angle DAC\).

Из равенства углов треугольников ABD и ACD следует, что AC = AB и BD = DC. Поскольку AB = BC, имеем AC = BC. Следовательно, треугольник ABC равносторонний.

Периметр равностороннего треугольника со стороной AB равен \(P=3AB\). Длина стороны в условии не задана, поэтому численное значение периметра определить нельзя; возможны любые положительные значения, соответствующие длине AB.