8. ABCD — параллелограмм. E и F — середины BC и AD соответственно. Диагональ BD пересекает AE в M, а FC в N. Доказать: BM = MN = ND.

Пусть \(A=\mathbf{0}\), \(B=\mathbf{u}\), \(D=\mathbf{v}\). Тогда в параллелограмме \(C=\mathbf{u}+\mathbf{v}\).

Так как E — середина BC, \(E=\mathbf{u}+\frac12\mathbf{v}\). Точка M лежит на AE и BD. На AE её координаты имеют вид \(s(\mathbf{u}+\frac12\mathbf{v})\), а на BD — \((1-t)\mathbf{u}+t\mathbf{v}\). Приравнивая коэффициенты, получаем \(s=1-t\) и \(s/2=t\), откуда \(t=1/3\). Значит, \(BM=\frac13BD\).

F — середина AD, поэтому \(F=\frac12\mathbf{v}\). Точка N лежит на FC и BD. На FC она имеет вид \(\frac12\mathbf{v}+r(\mathbf{u}+\frac12\mathbf{v})\), а на BD — \((1-q)\mathbf{u}+q\mathbf{v}\). Приравнивание коэффициентов даёт \(r=1-q\) и \(q=(1+r)/2\), откуда \(q=2/3\). Следовательно, \(BN=\frac23BD\).

Поскольку M и N лежат на BD на расстояниях соответственно \(\frac13BD\) и \(\frac23BD\) от B, получаем \(BM=MN=ND=\frac13BD\).