9. В треугольнике ABC точка L лежит на AC, BL — биссектриса угла ABC. Доказать: AB/BC = AL/LC.

Рассмотрим треугольники ABL и CBL. У них общая высота, опущенная из B на прямую AC, поэтому отношение их площадей равно отношению оснований: \(\frac{S_{ABL}}{S_{CBL}}=\frac{AL}{LC}\).

Вычислим это же отношение через две стороны и угол между ними: \(\frac{S_{ABL}}{S_{CBL}}=\frac{AB\cdot BL\cdot\sin\angle ABL}{BC\cdot BL\cdot\sin\angle LBC}\). Так как BL — биссектриса, \(\angle ABL=\angle LBC\), поэтому синусы равны и сокращаются. Получаем \(\frac{S_{ABL}}{S_{CBL}}=\frac{AB}{BC}\).

Приравняв два выражения для отношения площадей, заключаем: \(\frac{AB}{BC}=\frac{AL}{LC}\). Что и требовалось доказать.