8) ABCDA₁B₁C₁D₁ — куб, S△A₁C₁D = √3. Найти объём куба.

Пусть ребро куба равно \(a\). Стороны треугольника \(A_1C_1D\) — диагонали граней куба, поэтому каждая равна \(a\sqrt{2}\). Треугольник равносторонний.

Его площадь равна \(\frac{(a\sqrt{2})^2\sqrt{3}}{4}=\frac{a^2\sqrt{3}}{2}\). По условию:

\(\frac{a^2\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}\), значит, \(a^2=2\) и \(a=\sqrt{2}\).

Объём куба: \(V=a^3=(\sqrt{2})^3=2\sqrt{2}\).

Ответ: \(2\sqrt{2}\).