8. ∠B=2∠C. ∠BAC, ∠B, ∠C—?

Решение:

В задаче дано, что \( \angle B = 2\angle C \). Также на чертеже угол \( \angle BAC \) разделён на два равных угла (обозначены дужками), значит, \( \angle BAD = \angle CAD \).

В треугольнике ABD: \( \angle ADB = 180° - \angle B - \angle BAD = 180° - 2\angle C - \angle BAD \).

В треугольнике ADC: \( \angle ADC = 180° - \angle C - \angle CAD = 180° - \angle C - \angle BAD \).

Углы \( \angle ADB \) и \( \angle ADC \) — смежные, их сумма равна 180°.

\( \angle ADB + \angle ADC = 180° \)

\( (180° - 2\angle C - \angle BAD) + (180° - \angle C - \angle BAD) = 180° \)

\( 360° - 3\angle C - 2\angle BAD = 180° \)

\( 180° = 3\angle C + 2\angle BAD \)

На чертеже отрезки AD и CD имеют одинаковую длину, и AD является биссектрисой \( \angle BAC \). Треугольник ADC равнобедренный, где AC — основание, и \( \angle C = \angle ADC \) (это неверно, т.к. AD=CD, значит углы напротив них равны: \( \angle C = \angle CAD \)).

Итак, \( \angle C = \angle CAD \). Так как AD — биссектриса \( \angle BAC \), то \( \angle CAD = \angle BAD \).

Следовательно, \( \angle C = \angle CAD = \angle BAD \).

Вернёмся к уравнению \( 180° = 3\angle C + 2\angle BAD \).

Заменим \( \angle BAD \) на \( \angle C \):

\( 180° = 3\angle C + 2\angle C \)

\( 180° = 5\angle C \)

\( \angle C = \frac{180°}{5} = 36° \)

Теперь найдём \( \angle B \):

\( \angle B = 2\angle C = 2 \cdot 36° = 72° \)

И \( \angle BAC \):

\( \angle BAC = \angle BAD + \angle CAD = \angle C + \angle C = 2\angle C = 2 \cdot 36° = 72° \)

Проверка: \( \angle BAC + \angle B + \angle C = 72° + 72° + 36° = 180° \).

Ответ: \( \angle BAC = 72°, \angle B = 72°, \angle C = 36° \).