8. Биссектриса внешнего угла равнобедренного треугольника образует с боковой стороной треугольника угол, равный 70°. Рассмотрите все возможные случаи.

Задание 8

Дано:

• Равнобедренный треугольник ABC.
• Биссектриса внешнего угла при вершине B образует с боковой стороной BC угол 70°.

Найти: Углы треугольника.

Решение:

Пусть внешний угол при вершине B равен \( \angle B_{внеш} \). Биссектриса делит его пополам, поэтому угол между биссектрисой и стороной BC равен \( \frac{1}{2} \angle B_{внеш} \).

По условию, этот угол равен 70°, значит, \( \frac{1}{2} \angle B_{внеш} = 70^\circ \), откуда \( \angle B_{внеш} = 140^\circ \).

Внутренний угол при вершине B равен \( \angle B = 180^\circ - \angle B_{внеш} = 180^\circ - 140^\circ = 40^\circ \).

Случай 1: Угол при вершине (угол между равными сторонами) равен 40°.

Если \( \angle B = 40^\circ \), то углы при основании равны:

\( \angle A = \angle C = \frac{180^\circ - 40^\circ}{2} = \frac{140^\circ}{2} = 70^\circ \).

Проверим внешний угол при вершине B: \( \angle B_{внеш} = \angle A + \angle C = 70^\circ + 70^\circ = 140^\circ \). Биссектриса делит его на два угла по 70°, что соответствует условию.

Случай 2: Угол при основании равен 40°.

Если \( \angle A = 40^\circ \), то \( \angle C = 40^\circ \).

Угол при вершине B равен: \( \angle B = 180^\circ - (40^\circ + 40^\circ) = 180^\circ - 80^\circ = 100^\circ \).

Внешний угол при вершине B равен: \( \angle B_{внеш} = \angle A + \angle C = 40^\circ + 40^\circ = 80^\circ \).

Биссектриса внешнего угла при вершине B делит его пополам, то есть по \( 80^\circ / 2 = 40^\circ \). Это противоречит условию, что угол между биссектрисой и стороной BC равен 70°.

Случай 3: Угол при вершине B — 70° (если биссектриса внешнего угла при основании).

Пусть биссектриса внешнего угла при основании C равна 70°. Тогда внешний угол при вершине C равен \( 2 imes 70^\circ = 140^\circ \).

Внутренний угол при вершине C равен \( \angle C = 180^\circ - 140^\circ = 40^\circ \).

Так как треугольник равнобедренный, \( \angle A = \angle C = 40^\circ \).

Угол при вершине B равен \( \angle B = 180^\circ - (40^\circ + 40^\circ) = 180^\circ - 80^\circ = 100^\circ \).

Проверим внешний угол при вершине B: \( \angle B_{внеш} = \angle A + \angle C = 40^\circ + 40^\circ = 80^\circ \). Биссектриса внешнего угла при вершине B разделит его пополам, то есть по 40°.

Вывод:

Единственный возможный случай — когда угол при вершине B равен 40°, а углы при основании — 70°.

Ответ: Углы треугольника 70°, 40°, 70°.