8. Число сотен трёхзначного числа в 2 раза меньше числа десятков и в 3 раза меньше числа единиц. Доказать, что сумма этого числа и числа, записанного теми же цифрами, но в обратном порядке, делится на 4.

Решение:

Пусть трёхзначное число имеет вид \( \overline{abc} \), где \(a\) — число сотен, \(b\) — число десятков, \(c\) — число единиц.

По условию:

• \(a = \frac{1}{2}b\) ⇒ \(b = 2a\)
• \(a = \frac{1}{3}c\) ⇒ \(c = 3a\)

Так как \(a\), \(b\), \(c\) — цифры, то \(a \neq 0\). Значения \(a\) могут быть такими, чтобы \(b\) и \(c\) оставались цифрами (от 0 до 9). Возможные значения для \(a\):

• Если \(a=1\), то \(b=2\cdot1=2\), \(c=3\cdot1=3\). Число: \(123\).
• Если \(a=2\), то \(b=2\cdot2=4\), \(c=3\cdot2=6\). Число: \(246\).
• Если \(a=3\), то \(b=2\cdot3=6\), \(c=3\cdot3=9\). Число: \(369\).
• Если \(a=4\), то \(b=2\cdot4=8\), \(c=3\cdot4=12\) — не цифра.

Рассмотрим первое число, \(123\). Число, записанное теми же цифрами в обратном порядке, — \(321\).

Сумма: \(123 + 321 = 444\). \(444 : 4 = 111\). Делится на 4.

Рассмотрим второе число, \(246\). Число в обратном порядке — \(642\).

Сумма: \(246 + 642 = 888\). \(888 : 4 = 222\). Делится на 4.

Рассмотрим третье число, \(369\). Число в обратном порядке — \(963\).

Сумма: \(369 + 963 = 1332\). \(1332 : 4 = 333\). Делится на 4.

Доказательство:

Представим число в виде \(100a + 10b + c\). Число, записанное в обратном порядке, — \(100c + 10b + a\).

Их сумма: \((100a + 10b + c) + (100c + 10b + a) = 101a + 20b + 101c\).

Подставим \(b = 2a\) и \(c = 3a\):

\(101a + 20(2a) + 101(3a) = 101a + 40a + 303a = 444a\).

Так как \(444a\) делится на 4 (так как \(444 = 4 \cdot 111\)), то сумма числа и числа, записанного теми же цифрами в обратном порядке, всегда делится на 4.

Ответ: Доказано.