8. Дано: ∠1 = ∠2. Доказать: ∠BAC + ∠ACD = 180°. На рисунке точки A и C лежат на одной прямой; B, C и D лежат на одной прямой.

∠1 и ∠BAC — вертикальные углы, поэтому ∠BAC = ∠1. Углы ∠2 и ∠ACD также вертикальные, поэтому ∠ACD = ∠2.

По условию ∠1 = ∠2, следовательно, ∠BAC = ∠ACD. Кроме того, лучи CB и CD противоположны, поэтому ∠BCA и ∠ACD — смежные: ∠BCA + ∠ACD = 180°. Так как ∠BAC = ∠ACD, получаем, что треугольник ABC равнобедренный с ∠BAC = ∠BCA; тогда ∠BAC + ∠ACD = 180° не следует. Проверим связь: ∠ACD смежен с ∠BCA, а ∠BAC = ∠1 и ∠ACD = ∠2, поэтому из условия непосредственно следует ∠BAC = ∠ACD, но не их сумма 180°. Следовательно, требуемое утверждение в общем случае неверно.

Например, если ∠1 = ∠2 = 40°, то ∠BAC = 40° и ∠ACD = 40°, их сумма равна 80°, а не 180°.

Ответ: утверждение не следует из условия; при ∠1 = ∠2 = 40° сумма равна 80°.