8. Дано: ∠ABC = 135°, AD = 30. Найти: BC.

По рисунку AD ∥ BC, CD ⟂ BC, а ∠BDC = 45°.

1. В треугольнике BCD угол C прямой, а угол D равен 45°, поэтому ∠CBD = 45° и BC = CD.
2. ∠ABC состоит из углов ABD и DBC, значит ∠ABD = 135° − 45° = 90°.
3. Поскольку AD ∥ BC и CD ⟂ BC, угол при D в треугольнике ABD равен 45°. Тогда ∠BAD = 45°, и треугольник ABD — прямоугольный равнобедренный.
4. При AD = 30, гипотенузе треугольника ABD, получаем \(BD=30/\sqrt{2}=15\sqrt{2}\). В треугольнике BCD с углами 45°, 45°, 90° сторона \(BC=BD/\sqrt{2}=15\).

Ответ: BC = 15.